Траектория движения небесных тел. Центральное поле тяготения Гравитационные сферы планет Солнечной системы

Громоздкой процедуры подбора нужной косми­ческой траектории можно избежать, если задаться целью примерно наметить путь космического аппарата. Оказывается, что для срав­нительно точных расчетов нет нужды учитывать действующие на КА силы притяжения всех небесных тел или даже сколько-нибудь значительного их числа.

Когда космический аппарат находится в мировом пространстве вдали от планет , достаточно учитывать притяжение одного лишь Солнца, потому что гравитационные ускорения, сообщаемые планетами (вследствие больших расстояний и относительной мало­сти их масс), ничтожно малы по сравнению с ускорением, сообщае­мым Солнцем.

Допустим теперь, что мы изучаем движение КА вблизи Земли . Ускорение, сообщаемое этому объекту Солнцем, довольно заметно: оно примерно равно ускорению, сооб­щаемому Солнцем Земле (около 0,6 см/с 2); естественно было бы его учитывать, если нас интересует движение объекта относительно Солнца (учитывается же ускорение Земли в ее годовом движении вокруг Солнца!). Но если нас интересует движение КА относительно Земли , то притяжение Солнца оказывается сравнительно малосущественным. Оно не будет вмеши­ваться в это движение аналогично тому, как притяжение Земли не вмешивается в относительное движение предметов на борту корабля-спутника. То же касается и притяжения Луны, не говоря уже о при­тяжениях планет.

Вот почему в космонавтике оказывается весьма удобным при примерных расчетах («в первом приближении») почти всегда рас­сматривать движение КА под действием одного притягивающего небесного тела, т. е. исследовать движение в рам­ках ограниченной задачи двух тел. При этом удается получить важ­ные закономерности, которые совершенно ускользнули бы от нашего внимания, если бы мы решились изучать движение космического аппарата под влиянием всех действующих на него сил.

Будем считать небесное тело однородным материальным шаром или по крайней мере шаром, состоящим из вложенных друг в друга однородных сферических слоев (так примерно обстоит дело для Земли и планет). Математически доказывается, что такое небесное тело притягивает так, будто бы вся его масса сосредоточена в его центре (Это неявно предполагалось, когда мы говорили о задаче п тел. Под расстоя­нием до небесного тела подразумевалось и будет дальше подразумеваться расстоя­ние до его центра). Такое поле тяготения называется центральным или сфе­ рическим .

Будем изучать движение в центральном поле тяготения КА, получившего в начальный момент, когда он нахо­дился на расстоянии r 0 от небесного тела (В дальнейшем для краткости мы будем вместо «небесное тело» говорить «Земля»), скорость v 0 (r 0 и v 0 – начальные условия ). Для дальнейшего воспользуемся законом сохра­нения механической энергии, который справедлив для рассматри­ваемого случая, так как поле тяготения является потенциальным; наличием же негравитационных сил мы пренебрегаем. Кинетическая энергия космического аппарата равна mv 2 /2, где т – масса аппара­та, a v – его скорость. Потенциальная энергия в центральном поле тяготения выражается формулой

где М – масса притягивающего небесного тела, a r – расстояние от него КА; потенциальная энергия, будучи отрицательной, увеличивается с удалением от Земли, обращаясь в нуль на бесконечности. Тогда закон сохранения полной механи­ческой энергии запишется в следующем виде:

Здесь в левой части равенства стоит сумма кинетической и потенци­альной энергий в начальный момент, а в правой – в любой другой момент времени. Сократив на т и преобразовав, мы напишем инте­грал энергии – важную формулу, выражающую скорость v космического аппарата на любом расстоянии r от центра притяжения:

где K=fM – величина, характеризующая поле тяготения конкрет­ного небесного тела (гравитационный параметр). Для Земли К= 3,986005·10 5 км 3 /с 2 , для Солнца К =1,32712438·10 11 км 3 /с 2 .

Сферические действия планет. Пусть имеются два небесных тела, одно из которых большой массы М , например Солнце, и движущееся вокруг него другое тело значительно меньшей массы m , например Земля или какая-либо другая планета (рис. 2.3).

Положим также, что в поле тяготения этих двух тел находится третье тело, например КА, масса которого μ так мала, что практически совершенно не влияет на движение тел массой М и m . В этом случае можно или рассматривать движение тела μ в поле тяготения планеты и по отношению к планете, считая, что притяжение Солнца оказывает возмущающее влияние на движение этого тела, или наоборот, рассматри­вать движение тела μ в поле тяготения Солнца по отношению к Солнцу, считая, что притяжение планеты оказывает возмущающее влияние на движение этого тела. Для того чтобы выбрать тело, по отношению к которому следует рассматривать движение тела μ в суммарном поле тяготения тел М и m , пользуются введенным Лапласом понятием сферы действия. Область, называемая так, в действительности не является точной сферой, но очень близка к сферической.

Сферой действия планеты по отношению к Солнцу называется такая область вокруг планеты, в которой отношение возмущающей силы со стороны Солнца к силе притяжения тела μ планетой меньше, чем отношение возмущающей силы со стороны планеты к силе притяжения тела μ Солнцем.

Пусть М – масса Солнца, m – масса планеты, а μ – масса КА; R и r –расстояния КА соответственно от Солнца и планеты, причем R значительно больше r .

Сила притяжения массы μ Солнцем

При перемещении тела μ возникнут возмущающие силы

На границе сферы действия, согласно данному выше определению, должно выполняться равенство

где r o – радиус сферы действия планеты.

Так как r значительно меньше R по условию, то за R обычно принимается расстояние между рассматриваемыми небесными телами. Формула для r o – является приближенной. Зная массы Солнца и планет и расстояния между ними, можно определить радиусы сфер действия планет по отношению к Солнцу (табл. 2.1, где приведен также радиус сферы действия Луны по отношению к Земле).

Таблица 2.1

Сферы действия планет

Таким образом, понятие сферы действия существенно упрощает расчет траекторий движения КА, сводя задачу движения трех тел к нескольким задачам движения двух тел. Такой подход достаточно строг, как показывают сравнительные расчеты, выполненные методами численно­го интегрирования.

Переходы между орбитами. Движение КА происходит под действием гравитационных сил притяжения. Можно поставить задачи о нахождении оптимальных (с точки зрения минимального требуемого количества топлива или минимального времени на полет) траекторий движения, хотя в общем случае могут быть рассмотрены и другие критерии.

Орбитой называется траектория движения центра масс КА на основном участке полета под действием гравитационных сил. Траекто­рии могут быть эллиптическими, круговыми, гиперболическими или параболическими.

Путем изменения скорости может осуществляться переход КА с одной орбиты на другую, а при выполнении межпланетных полетов КА должен выйти из сферы действия планеты отправления, пройти участок в поле тяготения Солнца и войти в сферу действия планеты назначения (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Орбита КА при полете с планеты на планету:

1 – сфера действия планеты отправления; 2 – сфера действия Солнца, эллипс Романа; 3 – сфера действия планеты назначения

КА на первом участке тра­ектории выводится к границе сферы действия планеты от­правления с заданными пара­метрами либо прямо, либо с выходом на промежуточную орбиту спутника (круговая или эллиптическая промежуточная орбита может быть протяжен­ностью менее одного витка или несколько витков). Если ско­рость КА на границе сферы действия больше или равна местной параболической ско­рости, тогда дальнейшее дви­жение будет либо по гипербо­лической или параболической траектории (следует заметить, что выход из сферы действия планеты отправления может быть выполнен по эллиптической орбите, апогей которой лежит на границе сферы действия планеты).

В случае непосредственного выхода на траекторию межпланетного полета (и большой орбитальной скорости) общая продолжительность полета сокращается.

Гелиоцентрическая скорость на границе сферы действия планеты отправления равна векторной сумме выходной скорости относительно планеты отправления и скорости движения самой планеты по орбите вокруг Солнца. В зависимости от выходной гелиоцентрической скорости на границе сферы действия планеты отправления движение будет проходить по эллиптической, параболической или гиперболической траектории.

Орбита КА будет близка к орбите отправления, если гелиоцентричес­кая скорость выхода КА из сферы действия планеты будет равна ее орбитальной скорости. Если выходная скорость КА больше скорости планеты, но одинакова по направлению, то орбита КА будет распола­гаться вне орбиты планеты отправления. При меньшей и противополож­ной по направлению скорости – внутри орбиты планеты отправления. Меняя геоцентрическую скорость выхода, можно получить эллиптичес­кие гелиоцентрические орбиты, касательные к орбитам внешних или внутренних планет относительно орбиты планеты отправления. Именно такие орбиты могут служить траекториями полета с Земли к Марсу, Венере, Меркурию и Солнцу.

На конечном этапе межпланетного перелета КА входит в сферу действия планеты прибытия, выходит на орбиту ее спутника и произво­дит посадку в заданном районе.

Относительная скорость, с которой КА войдет в движущуюся ему наперерез или нагоняющую его сзади сферу действия, всегда будет больше местной (на границе сферы действия) параболической скорости в поле тяготения планеты. Поэтому траектории внутри сферы действия планеты назначения всегда будут гиперболами и КА должен неизбежно покинуть ее, если только он не войдет в плотные слои атмосферы планеты или не уменьшит скорость до круговой или эллиптической орбит.

Использование гравитационных сип при полетах в космическом пространстве. Силы гравитации являются функциями координат и обладают свойством консервативности: работа, совершаемая силами поля, не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точек пути. Если начальная и конечная точки совпадают, т.е. путь есть замкнутая кривая, то прираще­ния живой силы не происходит. Однако, встречаются случаи, когда это утверждение неверно: например (рис. 2.5), если в точку К (в электрическом поле вокруг изогнутого проводника, по кото­рому течет ток и в котором сило­вые линии замкнуты) помещена заряженная частица, то под дей­ствием сил поля она будет дви­гаться по силовой линии и, вер­нувшись опять в К , будет иметь

некоторую живую силу mv 2 /2 .

Если точка опять опишет за­мкнутую траекторию, то полу­чит дополнительное приращение живой силы и т.д. Таким образом, можно получить сколь угодно большое увеличение ее кинетической энергии. В этом примере показано, как осуществляется превращение энергии электрического поля в энергию движения точки. Ф. Дж. Дайсон описал возможный принцип устройства «гравитационной машины», использующей для получения работы поля тяжести (Н.Е. Жуковский. Кине­матики, статика, динамика точки. Оборонгиз, 1939; Ф. Дж. Дайсон. Межзвездная связь. «Мир», 1965): в Галактике может быть найдена двой­ная звезда с компонентами А и В, которые вращаются около общего центра масс по некоторой орбите (рис. 2.6). Если масса каждой звезды М , то орбита будет круговой с радиу­сом R . Скорость каждой звезды не­трудно найти из равенства силы притяжения центробежной силе:

По направлению к этой системе движется тело С небольшой массы по траектории CD. Траектория рассчитана так, что тело С подходит близко к звезде В в тот момент, когда эта звезда движется навстречу телу С. Тогда тело С совершит оборот вокруг звезды и далее будет двигаться с увеличенной скоростью. От этого маневра получится почти такой же эффект, как от упругого столкновения тела С со звездой В: скорость тела С будет приблизительно равна 2v . Источником энергии при таком маневре является гравитационный потенциал тел А и В. Если тело С – космический аппарат, то он таким образом получает для дальнейшего полета энергию от поля тяжести за счет взаимного притяжения двух звезд. Таким образом, возможен разгон КА до скорости в тысячи километров в секунду.

Математические определения

В KSP много понятий связано с физикой и небесной механикой, что может оказаться непривычным для непосвящённых. Кроме того разнообразные научные термины и аббревиатуры используются для описания общих понятий.
Данная статья составлена как краткий справочник по всей необходимой терминологии и призвана помочь Вам побыстрее стать настоящим кербонавтом!

Декартова система координат - использует прямоугольные координаты (a,b,c)

Полярная система координат - использует расстояние и углы (r,Θ,Φ)

Эллиптический

• Овальной формы, часто в значении формы орбиты.

Нормаль, вектор нормали

• Вектор, перпендикулярный к плоскости.

• Величина, задающаяся одним числом, не имеет направления. Следующая за скаляром единица измерения указывает на его размерность, напр., 3 кг, 40 м, 15 с скалярные величины, обозначающие массу, расстояние и время соответственно. Скаляром является среднепутевая скорость.

• Характеризуется одновременно направлением и величиной. Форма записи зависит от используемой системы координат и числа измерений. <35°, 12> двумерный полярный вектор, а <14, 9, -20> трёхмерный декартовый вектор. Существуют и другие системы координат, но эти наиболее часто встречаются.
• <35°, 12> выглядит как стрела длиной 12 единиц, проведённая из начала координат (из нуля, где координата-угол значения не имеет, поскольку у этой точки длина отсутствует) в точку в 35° от координатной оси (обычно оси-Х, от которой положительные углы отсчитываются против часовой стрелки)
• <14, 9, -20> выглядит как стрела, проведённая из начала координат (<0,0,0>), в точку с координатой x = 14, координатой y = 9 и координатой z = -20.
• Преимущество использования декартовых координат в том, что сразу понятно расположение конечной точки, но труднее оценить длину, тогда как в полярных координатах длина задана явно, но зато сложнее представить положение.
• Следующие физические величины являются векторами: скорость (мгновенная), ускорение, сила

Для трёхмерной системы координат нужны:

• Точка/тело отсчёта.

• 3 базисных вектора. Они задают единицы измерения вдоль осей и ориентацию этих осей.

• Набор трёх скаляров, которые могут быть углами или линейными координатами, для задания положения в пространстве.

В случае вычисления с удельным импульсом:

При старте с поверхности, аэродинамическое сопротивление атмосферы и необходимость набирать высоту вызывают аэродинамические и гравитационные потери, снижающие конечную характеристическую скорость.

Гравитация

• Универсальное взаимодействие между всеми материальными объектами. Очень слабое. Как правило очень массивные тела - т.е. планеты, луны - оказывают заметное воздействие. Убывает пропорционально квадрату расстояния от центра массы. Таким образом при удалении от гравитирующего объекта в два раза, сила притяжения составит 1/22 = 1/4 от изначальной.

Гравитационная яма

• Область вокруг планеты с её гравитационным полем. Строго говоря, простирается до бесконечности, но, т.к. гравитация убывает пропорционально квадрату расстояния (если расстояние возрастает в 2 раза, то гравитация убывает в 4), то практический интерес представляет только в пределах сферы гравитационного влияния планеты.

Гравитационная сфера, сфера гравитационного влияния

• Радиус вокруг небесного тела, в пределах которого его гравитацией ещё нельзя пренебречь. В зависимости от задач выделяют разные сферы.

• Cфера тяготения – область пространства, внутри которой притяжение планеты превосходит солнечное тяготение.
• Сфера действия – область пространства, в которой при расчетах за центральное тело принимают планету, а не Солнце.
• Сфера Хилла – область пространства, в котором могут двигаться тела, оставаясь спутником планеты.

Перегрузка ("g")

• Отношение ускорения объекта к ускорению свободного падения на поверхности Земли. Измеряется в ускорениях свободного падения на поверхности Земли -- "g".

Продолжение физики

Сила притяжения

• Сила притяжения характеризуется ускорением свободного падения в гравитационном поле, и в случае Земли на уровне моря равно 9.81 м/с2. Это эквивалентно перегрузке в 1g для объекта, испытывающего точно такое же ускорение, т.е. объект, покоящийся на поверхности Земли испытывает ту же перегрузку, что и движущийся с ускорением 1g (Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции). Объект будет весить в два раза больше, если испытывает ускорение 2g и не будет иметь веса вообще, если его ускорение равно нулю. На орбите при неработающем двигателе все объекты будут в невесомости, т.е. при нулевой перегрузке.

Первая космическая скорость (круговая скорость)

• Скорость, необходимая для круговой орбиты.

Вторая космическая скорость (скорость убегания, параболическая скорость)

• Скорость, необходимая для преодоления гравитационной ямы рассматриваемой планеты и удаления на бесконечность.

Энергия (механическая)

• Полная механическая энергия объекта на орбите складывается из потенциальной и кинетической энергий.

• Если полная энергия тела отрицательна, то его траектория будет замкнутой, если равна или больше нуля, то параболической и гиперболической соответственно. Все орбиты с равными полуосями соответствуют равным энергиям.
• В этом и заключается основной смысл законов планетарного движения Кеплера, на основании которых и производится в "KSP" корректирование аппроксимация методом конических сечений. Эллипс - это набор всех точек на плоскости, расположенных таким образом, что сумма расстояний до двух точек - фокусов - является некоторой константой. Один из фокусов кеплеровской орбиты расположен в центре масс объекта, на орбите вокруг которого происходит движение; как только объект приближается к нему, то он обменивает потенциальную энергию на кинетическую энергию. Если объект движется от этого фокуса - эквивалентно, если орбита эллиптическая, поскольку объект приближается к другому фокусу - он обменивает кинетическую энергию на потенциальную энергию. Если летательный аппарат движется непосредственно к или от объекта, то фокусы совпадают с апсидами, в которых кинетическая (апоцентр) или потенциальная (перицентр) энергии нулевые. Если она идеально круглая (например орбита Муна вокруг Кербина), то два фокуса совпадают и расположение апсид не определено, так как каждая точка орбиты является апсидой.

Аэродинамика

Предельная скорость падения

• Предельная скорость падения (англ. "Terminal velocity") - это скорость падения тела в газе или жидкости стабилизируется по достижении телом скорости, при которой сила гравитационного притяжения уравновешивается силой сопротивления среды. Более подробно о расчете предельной скорости в этой статье.

Аэродинамическое сопротивление

• Аэродинамическое сопротивление (англ. "Drag") или "лобовое сопротивление" - это сила, с которой газ действует на движущееся в нём тело; эта сила направлена всегда в сторону, противоположную направлению скорости тела, и является одной из составляющих аэродинамической силы. Эта сила - результат необратимого перехода части кинетической энергии объекта в теплоту. Сопротивление зависит от формы и размеров объекта, ориентации его относительно направления скорости, а также от свойств и состояния среды, в которой объект движется. В реальных средах имеют место: вязкое трение в пограничном слое между поверхностью объекта и средой, потери на образование ударных волн при около- и сверхзвуковых скоростях движения (волновое сопротивление) и на вихреобразование. В зависимости от режима полёта и формы тела будут преобладать те или иные компоненты лобового сопротивления. Например, для затупленных тел вращения, движущихся с большой сверхзвуковой скоростью, оно определяется волновым сопротивлением. У хорошо обтекаемых тел, движущихся с небольшой скоростью - сопротивлением трения и потерями на вихреобразование. Разрежение, возникающее на задней торцевой поверхности обтекаемого тела, тоже приводит к возникновению результирующей силы, направленной противоположно скорости тела,- донного сопротивления, что может составлять значительную часть аэродинамического сопротивления. Более подробно о расчете аэродинамического сопротивления в этой статье.

Как строить ракету и как выйти на орбиту!

Определение 1

Орбита небесного тела − это траектория, по которой движется в космическом пространстве космические тела: Солнце, звезды, планеты, кометы, космические корабли, спутники, межпланетные станции и др.

Применительно к искусственным космическим аппаратам понятие “орбита” используется для тех участков траекторий, на которых они перемещаются с отключенной двигательной установкой.

Форма орбиты небесных тел. Космическая скорость

Форма орбит и скорость, с которой по ним передвигаются небесные тела, зависят, в первую очередь, от силы всемирного тяготения. При анализе передвижения небесных тел Солнечной системы во многих случаях пренебрегают их формой и строением, то есть они выступают в качестве материальных точек. Это допустимо из-за того, что расстояние между телами, как правило, во множество раз превышает своих размеров. Если принять небесное тело за материальную точку, то при анализе его перемещения применяется закон всемирного тяготения. Также зачастую рассматривают лишь 2 притягивающихся тела, опуская влияние других.

Пример 1

При исследовании траектории движения Земли вокруг Солнца можно с вероятной точностью предположить, что планета передвигается лишь под действием сил солнечного тяготения. Равно также при исследовании движения искусственного спутника планеты принимается во внимание только тяготение «своей» планеты, при этом опускается не только притяжение других планет, но и солнечное.

Замечание 1

Предыдущие упрощения позволили прийти к задаче 2 -х тел. Одно из решений данной задачи предложил И. Кеплер. А полное решение сформулировал И. Ньютон, доказавший, что одно из притягивающихся небесных тел обращается вокруг другого по орбите в форме эллипса (или окружности, частного случая эллипса), параболы либо гиперболы. В фокусе данной кривой лежит 2 -я точка.

На форму орбиты влияют следующие параметры:

• масса рассматриваемого тела;
• расстояние между ними;
• скорость, с которой одно тело движется по отношению к другому.

Если тело массой m 1 (к г) расположено на расстоянии r (м) от тела массой m 0 (к г) и передвигается в данный момент времени со скоростью υ (м / с) , тогда орбита задается постоянной:

Определение 2

Постоянная тяготения f = 6 , 673 · 10 - 11 м 3 к г - 1 с - 2 . Если h 0 − по гиперболической орбите.

Определение 3

Вторая космическая скорость − это наименьшая начальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно начало движение около поверхности Земли, преодолело земное притяжение и навсегда покинуло планету по параболической орбите. Она равняется 11 , 2 к м / с.

Определение 4

Первой космической скоростью называют наименьшую начальную скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником планеты Земля. Она равняется 7 , 91 к м / с.

Большинство тел Солнечной системы перемещается по эллиптическим траекториям движения. Только лишь некоторые маленькие тела Солнечной системы такие, как кометы, вероятно перемещаются по параболическим или гиперболическим траекториям. Таким образом, межпланетные станции отправляются по гиперболической орбите по отношению к Земле; потом они перемещаются по эллиптическим траекториям по отношению к Солнцу в направлении к точке назначения.

Элементы орбиты − величины, с помощью которых определяются размеры, форма, положение, ориентация орбиты в пространстве и расположение небесного тела на ней.

У некоторых характерных точек орбит небесных тел есть собственные наименования.

Определение 6

Ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, передвигающегося вокруг Солнца, называется Перигелий (рисунок 1).

А самая удаленная − Афелий .

Ближайшая точка орбиты к планете Земля − Перигей , а самая дальняя − Апогей .

В более обобщенных задачах, в которых под притягивающим центром подразумевают различные небесные тела, употребляется название ближайшей к центру Земли точки орбиты − перицентр и самой отдаленной от центра точки орбиты − апоцентр .

Рисунок 1 . Точки орбиты небесных тел по отношению к Солнцу и Земле

Случай с 2 -мя небесными телами является самым простым и практически не встречается (хотя есть множество случаев, когда притяжением 3 -го, 4 -го и т.д. тел пренебрегают). На самом деле картина гораздо сложнее: каждое небесное тело находится под влиянием многих сил. При передвижении планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. В звездных скоплениях звезды притягиваются между собой.

Определение 7

Движение искусственных спутников находится под влиянием таких сил, как несферичность фигуры Земли и сопротивление земной атмосферы, а также притяжение Солнца и Луны. Данные дополнительные силы называются возмущающими . А эффекты, которые они создают при движении небесных тел, именуются возмущениями . Вследствие действия возмущений орбиты небесных тел постоянно медленно меняются.

Определение 8

Небесная механика − раздел в астрономии, который занимается изучением движения небесных тел с учетом возмущений.

С помощью методов небесной механики можно с высокой точностью и на много лет наперед определить расположение небесных тел в Солнечной системе. Более сложные вычислительные методы применяются при изучении траектории движения искусственных небесных тел. Точное решение подобных задач в виде математических формул получить очень трудно. Поэтому для решения сложных уравнений используют быстродействующие электронно-вычислительные машины. Для этого необходимо знание понятия сферы действия планеты.

Определение 9

Сфера действия планеты − это область околопланетного (окололунного) пространства, в которой при расчете возмущений в движении тела (спутника, кометы или межпланетного космического корабля) в качестве центрального тела принимается не Солнце, а эта планета (Луна).

Вычисления упрощаются из-за того, что внутри сферы действия возмущения от влияния солнечного притяжения по сравнению с планетным притяжением меньше, чем возмущение от планеты по сравнению с солнечным притяжением. Однако, не нужно забывать, что внутри сферы действия планеты и за ее пределами на тело оказывают влияние силы солнечного притяжения, а также планет и других небесных тел в той или иной степени.

Радиус сферы действия вычисляется исходя из расстояния между Солнцем и планетой. Орбиты небесных тел внутри сферы рассчитываются на основании задачи 2 -х тел. Если тело покидает планету, тогда его движение внутри сферы действия осуществляется по гиперболической орбите. Радиус сферы действия планеты Земля равняется примерно 1 м л н. к м. ; сфера действия Луны по отношению к Земле имеет радиус примерно 63 т ы с я ч и к м.

Способ определения орбиты небесного тела с помощью сферы действия является одним из методов приближенного определения орбит. Если известны приближенные величины элементов орбиты, тогда можно при помощи других методов получить более высокоточные значения элементов орбиты. Поэтапное улучшение определяемой орбиты − типичный прием, который позволяет вычислить параметры орбиты с большой точностью. Круг современных задач по определению орбит существенно увеличился, что объясняется стремительным развитием ракетной и космической техники.

Пример 2

Необходимо определить, во сколько раз масса Солнца превышает массу Земли, если известен период обращения Луны вокруг Земли 27 , 2 с у т. , а среднее расстояние ее от Земли 384 000 к м.

Дано: T = 27 , 2 с у т. , a = 3 , 84 · 10 5 к м.

Найти: m с m з - ?

Решение

Приведенные выше упрощения сводят нас к задаче 2 -х тел. Одно из решений данной задачи предложил И. Кеплер, а полное решение сформулировал И. Ньютон. Воспользуемся данными решениями.

T з = 365 с у т − период обращения Земли вокруг Солнца.

a з = 1 , 5 · 10 8 к м − среднее расстояние от Земли до Солнца.

При решении будем руководствоваться формулой закона И. Кеплера с учетом 2 -го закона И. Ньютона:

m с + m з m з + m · T 3 2 T 2 = a 3 3 a 3 .

Зная, что масса Земли по сравнению с массой Солнца и масса Луны по сравнению с массой Земли очень малы, запишем формулу в виде:

m с m з · T 3 2 T 2 = a 3 3 a 3 .

Из этого выражения находим искомое соотношение масс:

m с m з = a 3 3 a 3 · T 3 2 T 2 .

Ответ: m с m з = 0 , 3 · 10 6 к г.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Впервые за всю историю человечества рукотворный аппарат стал искусственным спутником астероида! Красивая фраза, однако, слова близкая к эллиптической требуют некоторого пояснения.

В учебниках по астрономии хорошо объясняется, как обращаются искусственные спутники по эллиптическим или почти круговым орбитам вокруг сферически симметричных тел, к числу которых можно отнести планеты и, в частности, нашу Землю. Однако взгляните на Эрос эту картофелеобразную глыбу размером 33*13*13 км. Гравитационное поле тела столь неправильной формы является весьма сложным, и чем ближе приближался к нему NEAR, тем сложнее становилась задача по его управлению. Совершив один виток вокруг Эроса, аппарат никогда не возвращался в точку его начала. Хуже того, не сохранялась даже плоскость орбиты зонда. Когда в коротких пресс-релизах сообщалось, что NEAR перешел на новую круговую орбиту, надо было видеть, какие замысловатые фигуры выписывал он в действительности!

Просто счастье, что в наше время на помощь людям пришли компьютеры. Сложная задача удержания аппарата на нужной орбите выполнялась программами автоматически. Если бы это делал человек, то ему можно было бы смело ставить памятник. Судите сами: во-первых, орбита аппарата никогда не должна была отклоняться более чем на 30 o от перпендикуляра к линии Солнце Эрос. Это требование определялось дешевой конструкцией аппарата. Панели солнечных батарей должны были всегда смотреть на Солнце (иначе смерть аппарата наступила бы в течение часа), главная антенна в момент передачи данных на Землю, а приборы во время их сбора на астероид. При этом все приборы, антенны и панели солнечных батарей были закреплены на NEAR неподвижно! 16 часов в сутки аппарату отводилось на сбор информации об астероиде и 8 на передачу данных через главную антенну на Землю .

Во-вторых, в большинстве экспериментов необходимы были как можно более низкие орбиты. А это, в свою очередь, требовало и более частых маневров, и большего расхода топлива. Тем ученым, которые производили картографирование Эроса, нужно было последовательно облететь на небольшой высоте все участки астероида, а тем из них, кто занимался получением изображений, вдобавок нужны были еще и различные условия освещения. Прибавьте к этому то, что на Эросе тоже существуют свои сезоны и полярные ночи. К примеру, южное полушарие открыло Солнцу свои просторы только к сентябрю 2000 года. Как в этих условиях угодить всем?

Помимо прочего, нужно было учесть еще и чисто технические требования к стабильности орбиты. В противном случае, потеряв связь с NEAR всего на неделю, можно было больше никогда его не услышать. И, наконец, ни при каких обстоятельствах нельзя было загонять аппарат в тень астероида. Он бы погиб там без Солнца! К счастью за окном компьютерный век, поэтому все эти задачи были возложены на электронику, люди же спокойно решали свои.

5.2. Орбиты небесных тел

Орбиты небесных тел траектории, по которым движутся в космическом пространстве Солнце, звезды, планеты, кометы, а также искусственные космические аппараты (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, межпланетные станции и т.п.). Однако для искусственных космических аппаратов термин орбита применяют лишь к тем участкам их траекторий, на которых они движутся с выключенной двигательной установкой (так называемые пассивные участки траектории).

Формы орбит и скорости, с которыми движутся по ним небесные тела, определяются главным образом силой всемирного тяготения. При исследовании движения небесных тел в большинстве случаев допустимо не принимать во внимание их форму и строение, то есть считать их материальными точками. Такое упрощение возможно потому, что расстояние между телами обычно во много раз больше их размеров. Считая небесные материальными точками, мы можем при исследовании движения непосредственно применять закон всемирного тяготения. Кроме того, во многих случаях можно ограничиться рассмотрением движением только двух притягивающихся тел, пренебрегая влиянием других. Так, например, при изучении движения планеты вкруг Солнца можно с известной точностью предполагать, что планета движется толь под действием силы солнечного тяготения. Точно также при приближенном изучении движения искусственного спутника планеты можно принять во внимание лишь тяготения своей планеты, пренебрегая не только притяжением других планет, но и солнечной.

Указанные упрощения приводят к так называемой задаче двух тел. Одно из решений этой задачи было дано И. Кеплером, полное решение задачи было получено И. Ньютоном. Ньютон доказал, что одна из притягивающихся материальных точек обращается вокруг другой по орбите, имеющей форму эллипса (или окружности, которая является частным случаем эллипса), параболы или гиперболы. В фокусе этой кривой находится вторая точка.

Форма орбиты зависит от масс рассматриваемых тел, от расстояния между ними и от скорости, с которой одно тело движется относительно другого. Если тело массой m 1 (кг) находится на расстоянии r (м) от тела массой m 0 (кг) и движется в этот момент времени со скоростью V (м/с), то вид орбиты определяется величиной h = V 2 -2f(m 0 + m 1)/ r.

Постоянное тяготение G = 6.673 10 -11 м 3 кг -1 c -2 . Если h меньше 0, то тело m 1 движется относительно тела m 0 по эллиптической орбите; Если h равно 0 - по параболической орбите; Если h больше 0, то тело m 1 движется относительно тела m 0 по гиперболической орбите .

Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело земное притяжение и навсегда покинуло Землю по параболической орбите, называется второй космической скоростью. Она равна 11.2 км/с. Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, называется первой космической скоростью. Она равна 7.91 км/с.

По эллиптическим орбитам движется большинство тел солнечной системы. Только некоторые малые тела Солнечной системы кометы, возможно, движутся по параболическим или гиперболическим орбитам. В задачах космического полета наиболее часто встречаются эллиптические и гиперболические орбиты. Так, межпланетные станции отправляются в полет, имея гиперболическую орбиту относительно Земли; затем они движутся по эллиптическим орбитам относительно Солнца по направлению к планете назначения.

Ориентация орбиты в пространстве, ее размеры и форма, а также положение небесного тела на орбите определяются шестью величинами, называемыми элементами орбиты. Некоторые характерные точки орбит небесных светил имеют собственные названия. Так, ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, движущегося вокруг Солнца, называется перигелием, а наиболее удаленная от него точка эллиптической орбиты афелием. Если рассматривается движение тела относительно Земли, то ближайшая к Земле точка орбиты называется перигеем, а самая далекая апогеем. В более общих задачах, когда под притягивающим центром можно подразумевать разные небесные тела, употребляют названия: перицентр (ближайшая к центру точка орбиты) и апоцентр (наиболее удаленная от центра точка орбиты).

Случай взаимодействия только двух небесных тел является простейшим почти не наблюдается (хотя и имеется много случаев, когда притяжением третьего, четвертого и т.д. тел можно пренебречь). В действительности все обстоит намного сложнее: на каждое тело действуют многие силы. Планеты в своем движении притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. В звездных скоплениях каждая звезда притягивается всеми остальными. На движение искусственных спутников Земли оказывают влияние силы, вызываемые несферичностью фигуры Земли и сопротивлением земной атмосферы, притяжение Луны и Солнца. Эти дополнительные силы называют возмущающими, а эффекты, которые они вызывают в движении небесных тел, - возмущениями. Из-за возмущений орбиты небесных тел непрерывно медленно изменяются .

Исследованием движения небесных тел с учетом возмущающих сил занимается раздел астрономии небесная механика. Методы, разработанные в небесной механике, позволяют очень точно на много лет вперед определить положение любых тел Солнечной системы. Более сложные методы вычислений используются при исследовании движения искусственных небесных тел. Точное решение этих задач в аналитическом виде (то есть в виде формул) получить крайне сложно. Поэтому используются методы численного решения уравнений движения с применением быстродействующих электронных вычислительных машин. При таких вычислениях пользуются понятием сферы действия планеты. Сферой действия называют область околопланетного пространства, в которой при расчетах возмущенного движения тела (КА) удобно в качестве центрального тела считать не Солнце, а эту планету. В этом случае расчеты упрощаются вследствие того, что внутри сферы действия возмущающее влияние притяжения Солнца в сравнении с притяжением планеты меньше, чем возмущающее от планеты в сравнении с притяжением Солнца. Но нужно помнить, что и внутри сферы действия и за ее пределами всюду на тело действуют силы притяжения и Солнца, и планеты и других тел, хотя и в разной степени.

Радиус сферы действия зависит от расстояния между Солнцем и планетой. Орбиты небесных тел внутри сферы действия можно рассчитать на основе задачи двух тел. Если небесное тело покидает планету, то движение этого тела внутри сферы действия происходит по гиперболической орбите. Радиус сферы действия Земли равен около 1 млн. км; сфера действия Луны по отношению к Земле имеет радиус около 63 тысяч километров.

Метод определения орбиты небесного тела с использованием понятия сферы действия один из способов приближенного определения орбит. Зная приближенные величины элементов орбиты, можно с помощью других методов получить более точные значения элементов орбиты. Такое поэтапное улучшение определяемой орбиты является типичным приемом, позволяющим вычислить параметры орбиты с высокой точностью. В настоящее время круг задач по определению орбит значительно расширился, что объясняется бурным развитием ракетной и космической техники .

5.3. Упрощенная постановка задачи трех тел

Задача движения КА в гравитационном поле двух небесных тел является достаточно сложным и ее обычно исследуют численными методами. В ряде случаев оказывается допустимым упрощение этой задачи путем разделения пространства на две области, в каждой из которых учитывается притяжение только одного небесного тела. Тогда внутри каждой области пространства движение КА будет описываться известными интегралами задачи двух тел. На границы перехода из одной области в другую необходимо соответствующим образом пересчитать вектор скорости и радиус-вектор с учетом замены центрального тела.

Разделение пространства на две области можно осуществлять на основе различных допущений, которые определяют границу. В задачах небесной механики, как правило, одно небесное тело имеет массу существенно большую, чем второе. Например, Земля и Луна, Солнце и Земля или любая другая планета. Поэтому область, где предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится меньше притягивающее тело, занимает только небольшую часть пространства вблизи этого тела. Во всем оставшемся пространстве предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится большее притягивающее тело. Рассмотрим некоторые принципы разделения пространства на две области.

5.4. Сфера притяжения

Совокупность точек пространства, в котором меньшее небесное тело m 2 притягивает КА сильнее, чем большее тело m 1 , называют областью притяжения или сферой притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу понятия сфера справедливо замечание, сделанное для сферы действия .

Пусть m 1 масса и обозначение большого притягивающего тела, m 2 масса и обозначение меньшего притягивающего тела, m 3 масса и обозначение КА.

Их взаимное расположение определяется радиусами-векторами r 2 и r 3 , которые соединяют m 1 соответственно с m 2 и m 3 .

Граница области притяжения определяется условием: |g 1 |=|g 2 | , где g 1 - гравитационное ускорение, сообщаемое КА большим небесным телом, а g 2 - гравитационное ускорение, сообщаемое КА меньшим небесным телом.

Радиус сферы притяжения рассчитывается по формуле:

где g 1 - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m 1 , - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m 2 , g 2 - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m 2 , - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m 1 .

Заметим, что при введении этого понятия под словом сфера сначала имеем в виду не геометрическое место точек, одинаково удаленных от центра, а область преимущественного влияния меньшего тела на движение КА, хотя граница этой области действительно близка к сфере.

Внутри сферы действия меньшее тело рассматривают в качестве центрального, а большее тело как возмущающее. Вне сферы действия за центральное принимают большее тело, а возмущающее меньшее. В ряде задач небесной механики оказывается возможным пренебречь в первом приближении влиянием на траекторию КА большего тела внутри сферы действия и меньшего тела вне этой сферы. Тогда внутри сферы действия движение КА будет происходить в центральном поле, создаваемом меньшим телом, а вне сферы действия - в центральном поле, создаваемом большим телом. Границу области (сферы) действие меньшего тела относительно большего определяют по формуле:

5.6. Сфера Хилла

Сферой Хилла называют замкнутую область пространства с центром в притягивающей точке m 2 , двигаясь внутри которой тело m 3 всегда будет оставаться спутником тела m 2 .

Сфера Хилла названа так по имени американского астронома Дж. В. Хилла, который в своих исследованиях движения Луны (1877 г.) впервые обратил внимание на существование областей пространства, куда не может попасть тело бесконечно малой массы, находящееся в гравитационном поле двух притягивающих тел.

Поверхность сферы Хилла может рассматриваться как теоретическая граница существования спутников тела m 2 . Например, радиус селеноцентрической сферы Хилла в системе Земля Луна ИСЛ составляет r = 0.00039 а.е. = 58050 км, а в системе Солнце Луна ИСЛ r = 0.00234 а.е. = 344800 км.

Радиус сферы Хилла вычисляется по формуле:

радиус сферы действия по формуле:

где R - расстояние от Эроса до Солнца,

где G - гравитационная постоянная (G = 6.6732*10 -11 Н м 2 /кг 2), r - расстояние до астероида; вторая космическая скорость равна:

Вычислим первую и вторую космические скорости для каждого значения радиуса сфер. Результаты занесем в табл.1, табл.2, табл.3.

Радиусы сферы тяготения так малы по сравнению с размерами астероида (33*13*13 км), что в некоторых случаях граница сферы может находиться буквально на его поверхности. А вот сфера Хилла имеет настолько большие размеры, что в ней из-за влияния Солнца орбита КА будет очень неустойчивой. Получается, что КА будет искусственным спутником астероида только в том случае, если находится внутри сферы действия. Следовательно, радиус сферы действия равен максимальному расстоянию от астероида, на котором КА станет искусственным спутником. Причем значение его скорости должно быть в интервале между первой и второй космическими скоростями.

Как видно из таблицы 4, при перемещении КА на более низкие орбиты его скорость должна увеличиться. При этом скорость должна быть все время перпендикулярной радиус-вектору.

Теперь вычислим скорость, с которой аппарат мог упасть на поверхность астероида под действием только ускорения свободного падения.

Ускорение свободного падения вычисляется по формуле:

Расстояние до поверхности возьмем равным 370 км., так как аппарат 14 февраля 2000 года вышел на эллиптическую орбиту с параметрами 323*370 км.

Итак, g = 3.25 . 10 -6 м/с 2 , скорость вычисляется по формуле: , и она будет равна V = 1.55 м/с.

Реальные факты подтверждают наши расчеты: в момент посадки скорость аппарата относительно поверхности Эроса составила 1.9 м/с.

Надо заметить, что все расчеты являются приближенными, так как мы считаем Эрос однородной сферой, что очень отличается от действительности.

Оценим погрешность вычислений. Расстояние от центра масс до поверхности астероида изменяется от 13 до 33 км. Теперь пересчитаем ускорение свободного падения и скорость, но расстояние до поверхности возьмем равным 337 км. (370 - 33).

Итак, g" = 3.92 . 10 -6 м/с 2 , а скорость V" = 1.62 м/с.

Погрешность вычислений ускорения свободного падения равна = 0.67 . 10 -6 м/с 2 , а погрешность вычислений скорости равна = 0.07 м/с.

Итак, если бы астероид Эрос находился бы на среднем расстоянии от Солнца, то КА NEAR для выхода на орбиту потребовалось бы приблизиться к астероиду на расстояние менее 355.1 км со скоростью менее 1.58 м/с.

Гравитационные сферы планет Солнечной системы

Таблица 1. Гравитационные сферы планет Солнечной системы.

Сфера тяготения планеты (структурного элемента Солнечной системы) – это область пространства, в котором притяжением звезды можно пренебречь, а планета является основным центром гравитации. На границе области тяготения (притяжения) напряженность гравитационного поля планеты (ускорение свободного падения g) равно напряженности гравитационного поля звезды. Радиус сферы тяготения планеты равен

R т = R K 0.5

где
R – расстояние от центра звезды до центра планеты
K = М пл / М с
М пл – масса планеты
М с – масса Солнца

Сфера действия планеты – это область пространства, в котором сила притяжения планеты меньше, но соизмерима с силой притяжения своей звезды, т.е. напряженность гравитационного поля планеты (ускорение свободного падения g) не намного меньше напряженности гравитационного поля звезды. При расчетах траекторий физических тел в сфере действия планеты центром гравитации считают планету, а не ее звезду. Влияние гравитационного поля звезды на орбиту физического тела называют возмущением его траектории. Радиус сферы действия планеты равен

R д = R K 0.4

Сфера Хилла – область пространства, в которой естественные спутники планеты имеют стабильные орбиты и не могут перейти на около звездную орбиту. Радиус сферы Хилла равен

R х = R (K/3) 1/3

Радиус сферы тяготения